Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若二面角大小为，求的长．

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）根据面面垂直的性质定理得到平面，又因为，所以平面，而平面，所以面面垂直；

（2）根据图像以Q为原点建立空间直角坐标系，分别为轴，将异面直线所成角转化为;

（3）根据点C，M，P三点共线，设的坐标，然后求两个平面的法向量，解得，最后代入模的公式．

试题解析：（1）证明：∵ADBC，，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CDBQ．

∵∠ADC， ∴∠AQB，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB， ∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图2，以Q为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，∵M是PC的中点，∴，

∴．

设异面直线AP与BM所成角为，

则=

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为．

（3）解：由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，

由C、M、P三点共线得，且， 从而有，

又，设平面MBQ法向量为，

由可取．

∵二面角M−BQ−C为30°，∴，∴，∴．