Question

设，函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，若有两个相异零点，，且，求证：.

Answer

（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求导，分，两种情况讨论导函数正负，即得解；

（2）由，构造，结论，可转化为

，构造函数，分析单调性研究单调性，即可证.

（1），，

当时，，函数在区间上是增函数；

当时，令，解得，则函数在区间上是减函数，在区间

上是增函数.

综上得：当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）由题意得，.

因为，是方程的两个不同的实数根，所以

，两式相减得，解得.

要证：，即证：，即证：，

即证：，

令（因为），则只需证.

设，∴；

令，∴，在上为减函数，

∴，∴，在为增函数，.

即在上恒成立，∴.