Question

已知曲线上任意一点满足，直线过点，且与曲线交于，两点.

（1）求曲线的方程；

（2）设点，直线与的斜率分别为，，试探求与的关系.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）化简曲线方程可得，即，利用椭圆的定义，可得解;

（2）设直线：，与椭圆联立，得到韦达定理，用点坐标表示：，代入化简即得解.

（1）由可化得

，设，

则等式即为，

且，

所以曲线是椭圆，焦点为，在轴上，

长半轴长，半焦距，短半轴长，

所以曲线的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，：，代入，解得，

即，，又，

所以，，所以；

②当直线的斜率存在时，设直线：，

联立，消整理得

，，设与的交点，，

则，，

因为，所以.

综上，与满足.