Question

设为奇函数，为常数.

（1）求的值；

（2）证明在区间内单调递增；

（3）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得的值；
（2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证；
（3）由题意可得即恒成立.令.只需，由的单调性即可得到最小值.

（1）∵，

∴.

∴，即，

解得，检验（舍），

∴；

（2）由（1）可知，

证明：任取，即有，

即，即，

即有，

即，

∴在上为增函数；

（3）设，

由（2）得在上为增函数，在上单调递减，

则在上为增函数，

，

又对恒成立，

，

.