Question

已知函数．

（1）研究函数的单调性；

（2）研究函数的零点个数情况，并指出对应的范围．

Answer

（1）见解析；（2）当时，存在唯一零点；当时，无零点

【解析】

（1）首先确定函数定义域和导函数；分别在、、和四种情况下，根据导函数的正负，确定原函数的单调性；

（2）根据（1）中函数的单调性，分别在、、和四种情况下根据函数的极值和最值，结合单调性确定零点个数.

（1）由题意得：定义域为，

①当时，令得：

则当时，；当时，

在上单调递增，在上单调递减

②当时，，即 在上单调递增

③当时，

令，解得：，

则当和时，；当时，

在上单调递增，在上单调递减

④当是，

令，解得：，

则当时，；当时，

在上单调递增，在上单调递减

（2）①当时，在上单调递增，在上单调递减

；当时，；当时，

不存在零点

②当时，在上单调递增，在上单调递减

且

，

令，则

在上单调递增

又当时，；当时，

不存在零点

③当时，在上单调递增

当时，；当时，

必存在唯一零点

④当时，在上单调递增，在上单调递减

且

，

令，则

在上单调递增

又当时，；当时，

必存在唯一零点

综上所述：当时，存在唯一零点；当时，无零点