Question

已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆右焦点到直线的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与该椭圆交于不同的两点，，若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为：，右焦点，由椭圆右焦点到直线的距离为3，可得的值，可得椭圆的标准方程；

（2）由坐标原点到直线的距离为，可得：，设设，，，，联立直线与椭圆，可得，的值，求出的值，由，由基本不等式可得面积的最大值.

解：（1）设椭圆的标准方程为：，右焦点.

则，解得.

.

椭圆的方程为.

（2）由坐标原点到直线的距离为，，化为：.

设，，，.

联立，化为：.

△，，，

，

，

当且仅当时取等号.

面积的最大值是.