Question

如图，在五面体ABCDPN中，棱PA⊥面ABCD，AB=AP=2PN，底面ABCD是菱形，∠BAD= ．

（1）求证：PN∥AB；

（2）求NC与平面BDN所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）菱形得线线平行，进而得线面平行，再得线线平行；

（2）需建立空间坐标系，找出相关点的坐标，利用公式计算得解．

（1）证明：

在菱形ABCD中，AB∥CD

∵CD⊂面CDPN，AB⊄面CDPN

∴AB∥面CDPN

又面ABNP∩面CDPN=PN

∴AB∥PN

（2）取CD中点M，

在菱形ABCD中，∠BAD=，可知AM⊥AB

又PA⊥面ABCD

∴以A为原点建立空间坐标系如图

设AB=2，则B（2，0，0）

N（1，0，2），D（﹣1，，0），C（1，，0）

∴=（0，，﹣2）

=（1，0，﹣2）

=（﹣3，，0）

设面BDN的法向量为=（m，n，p）

则，得

取m=2，则n=2，p=1

即=（2，2，1）

设NC与平面BDN所成的角为θ，

则sinθ=|cos，

故NC与平面BDN所成角的正弦值为．