Question

已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）若函数存在极值点，求的取值范围；

（2）设，若不等式在上恒成立，求的最大整数值.

Answer

（1）；（2）3

【解析】

（1）求出导函数，将题目转化为解决导函数的零点问题；

（2）分离参数解决恒成立，讨论函数的最值即可求解.

（1）的定义域为，.

因为函数存在极值点，所以在上有解.

当时，，

所以，经检验，

当时，得

由得，由得，

所以函数在单调递增，单调递减，符合条件函数存在极大值点，.

所以的取值范围为.

（2）因为，所以.

不等式在上恒成立，可等价转化为对任意恒成立.

令，则.

令，则.

所以在上单调递增.

因为，，

所以存在使，即.

所以当时，，即；当时，，即.

所以在上单调递减，在上单调递增.

由，得.

所以，

所以，所以的最大整数值为3.