Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据得，即可求得离心率；

（2）设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理表示出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最大值.

（1）设椭圆的半焦距为.

由得，

整理得.

又因为，所以，.

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）可知，，.

设直线的方程为.

联立，消去可得.

设，.

则，.

所以，

所以.

又因，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，

即面积的最大值为.