Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.

（1）证明：直线 平面PAB；

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可；
（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M−AB−D的余弦值即可．

（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，

因为E是PD的中点，
所以，∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P−ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，
∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，

设AD＝2，则AB＝BC＝1，OP＝，
∴∠PCO＝60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN＝MN，，BC＝1，
可得：，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M−AB−D的平面角，MQ＝，
二面角M−AB−D的余弦值为：．