Question

为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致戏察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为（肩手左右）的游戏，方案如下：

游戏准备：

选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的”左“字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．

游戏进行：

一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停!”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停!”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停!”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．

游戏评价：

为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得﹣1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得﹣1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，p_i（i＝0，1，…，8）表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则P₀＝0，p₈＝1，p_i＝ap_i﹣1+bp_i+cp_i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．

①证明：{p_i+1﹣p_i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

②求p₄，并根据p₄的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.8”的假设．

Answer

（1）分布列见解析（2）①证明见解析，②p4＝，不能够

【解析】

（1）先求出的所有可能取值，再用表示出取各个值时的概率，即可得X的分布列.

（2）①由（1）得的值，再利用等比数列的定义，证明数列{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；②利用①的结论，将用表示，再根据，可求出，从而得的值，即可验证假设.

（1）的所有可能取值为，

，

，

，

所以X的分布列为：

（2）① 由（1）得，，

因此，故，

即，

又因为，

所以{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为，首项为等比数列.

② 由①可得

，

由于，故，

所以

，

表示最终甲获胜的概率，由计算结果可以看出，“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.8”，甲能获胜的概率为，此时得出错误的结论的概率非常小，故能充分验证这个方案的假设.