Question

已知函数.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）当且时，函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围.

Answer

（1）； （2）.

【解析】

求出函数的导数,由切线方程可得,解方程即可;

由题意知,对任意恒成立等价于不等式对任意恒成立,

令函数，证明在恒成立即可;

对函数进行求导,利用导数判断函数的单调性,求最值即可求出实数的取值范围.

依题意，，

故，则，解得；

依题意，当时，恒成立,

即对任意恒成立，

令，证明在恒成立即可,

因为，

令，当时，图象开口向下，

又因为在上有两个零点1和，

①当时，即，此时在上恒成立，

函数在上单调递减，因为，

所以函数在恒成立,符合题意;

②当时,即，此时当时, ，

函数在上单调递减，因为，

所以函数在恒成立,符合题意;

③当时，即，此时当时,，

当时, ，

函数在上单调递增；在上单调递减；

所以，不符合题意;

综上可知，实数的取值范围为.