在直角坐标系xOy中，曲线C：x2＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1d2为... _满分5

在直角坐标系xOy中，曲线C：x2＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．

（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1d2为定值．

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由．

答案：

（1）见解析；（2） . 【解析】（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与曲线C的方程联立，列出韦达定理，结合距离公式可证明题中结论；（2）设P（0，b）为符合题意的点，利用两点的斜率公式结合韦达定理计算直线PM与直线PN的斜率之和为0，得出b的值，从而证明点P的存在性．（1）将直线l的方程与曲线C的方程联立，消去y并整理得x2﹣6kx﹣18＝0．设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1x2＝﹣18．从而d1d2＝|x1|•|x2|＝|x1x2|＝18（定值）；（2）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，从而＝．当b＝﹣3时，有k1+k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补．故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，﹣3）符合题意．故以线段OP为直径的圆的方程为．

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某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.