Question

数列的前n项和为，且，.

（1）证明；

（2）求的通项公式；

（3）设，证明：.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）由题可得当时,,与条件作差即可得,即,进而得证；

（2）由（1）,利用累加法求解即可；

（3）由（2）,,则且,求和后即可证明不等式成立

（1）证明;∵,

∴当时,,

∴,

∴,

当时,

（2）由（1）,当时,,

则,…,,

累加可得:,

∵,

∴,

又,所以,

∴,

∴,

经检验,符合上式,

所以

（3）证明:由（2）,,

∵,

∴,

∵.

∴

∴