Question

如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交线段AB、AC于点P、Q两点，设，，记.

（1）求的值；

（2）求函数的解析式（指明定义域）；

（3）设，，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）4；（2），；（3）.

【解析】

（1）表示出向量，根据、、三点共线，得到关于，的等式，

（2）解出即的解析式；

（3）分别根据，的单调性，求出，的值域，结合集合的包含关系得到关于的不等式组，解出即可．

解：（1）过点的直线分别交两边、于、，

，，

又，，

，

又、、三点共线，

，

（2）由（1）知

，

由得，

，

，，；

（3）在，内是减函数，

，，

即函数的值域为，，

，

在，内是增函数，

，，

的值域为，，

由题设得，，，

则

解得的取值范围是，，．