Question

    如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EG＝EK．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为13，CH＝12， ，求FG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）FG＝2．

【解析】

（1）连接OG，首先证明∠EGK=∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；
（2）连接CO，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接OG，

∵弦CD⊥AB于点H，

∴∠AHK＝90°，

∴∠HKA+∠KAH＝90°，

∵EG＝EK，

∴∠EGK＝∠EKG，

∵∠HKA＝∠GKE，

∴∠HAK+∠KGE＝90°，

∵AO＝GO，

∴∠OAG＝∠OGA，

∴∠OGA+∠KGE＝90°，

∴GO⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接CO，在Rt△OHC中，

∵CO＝13，CH＝12，

∴HO＝5，

∴AH＝8，

∵=，

∴OF＝15，

∴FG＝＝＝2 ．