Question

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。

（1）求B点坐标；

（2）设运动时间为t秒。

①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；

②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积。

③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动。在②的条件下，PM＋PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。

 

Answer

解（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，

∴OD=AB=10  ∴CD=OC－OD=12   ∴OA=BD==9  ∴B（10，9）

（2）①由题意知：AM=t，ON=OC－CN=22－2t    ∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半 ∴   ∴t=6

②设四边形OAMN的面积为S，则 

∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小 ∴当t=10时，s最小，最小面积为54。

③如备用图，取N点关于y轴的对称点N/，连结MN/交AO于点P，此时PM＋PN=PM＋PN/=MN长度最小。

当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2 

∴M（10，9），N（2，0）∴N/（－2，0）  

设直线MN/的函数关系式为，则

  解得                     

∴P（0，）   ∴AP=OA－OP=  

∴动点P的速度为个单位长度/ 秒  

【解析】（1）由题意可以先构造矩形OABD，然后根据勾股定理进行求解；

（2）是动点型的题要设好未知量：

①AM=t，ON=OC-CN=22-2t，根据四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，列出等式求出t值；

②设四边形OAMN的面积为S，用t表示出四边形OAMN的面积，根据二次函数的性质求出最值；

③由题意取N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交AO于点P，此时PM+PN=PM+PN′=MN长度最小，表示出点M，N，N′的坐标，设直线MN′的函数关系式为y=kx+b，最后待定系数法进行求解．