Question

如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N。

（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；

（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线。

则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由。

Answer

解：（1）∵AF⊥BD  ∠ABF=∠MBF    ∴∠BAF=∠BMF  ∴MB=AB

∴AF=MF     同理可说明：CN=AC，AG=NG

∴ FG是△AMN的中位线

∴ FG=MN=（MB＋BC＋CN）=（AB＋BC＋AC）

（2）图（2）中，FG=（AB＋AC－BC）   

图（3）中，FG=（AC＋BC－AB）    

①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG  ∴FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB＋AC－BC）

②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG  ∴FG=MN=（CN＋BC－BM）=（AC＋BC－AB）  

【解析】（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；

（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案；

（3）与（1）方法类同即可证出答案．