Question

探究与发现：

探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，

试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．

探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：如图，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．

探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：如图，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．

探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？

请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： _______________________________．

 

Answer

(1) ∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，   

∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A．

(2) ∵DP平分∠ADC，

∴∠PDC=∠ADC．

同理，∠PCD=∠ACD．

∴180°−∠PDC−∠PCD=180°−(180°−∠A)=90°+∠A

(3)延长DA、CB交于点O．

由(2)中结论知，∠P=90°+∠O，由(1)中结论知，∠A+∠B=180°+∠O，

∴∠P=90°+(∠A+∠B−180°)=(∠A+∠B)．

(4) ∠P=(∠A+∠B+∠E+∠F)−180°．

【解析】（1）利用三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质得出∠FDC+∠ECD=180°+∠A．

（2）利用角平分线和内角和的性质得出∠DPC=90°+∠A；

（3）利用（1）、（2）的结论求出∠P=  (∠A+∠B)；

（4）根据以上规律得出∠P= (∠A+∠B+∠E+∠F)−180°．