Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE

Answer

（1）证明略

（2）证明略

（3）证明略

【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，

即AD是底边BC上的高．    

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D是BC的中点；

 (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，

            ∴ ∠CBE=∠CAD． 又∵ ∠BCE=∠ACD， ∴△BEC∽△ADC；

（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．

∵D是BC的中点，∴CD=BC．   又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE   即BC=2AB·CE．