Question

．如图甲所示，竖直面MN的左侧空间存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)．一个质量为m、电荷量为q的可视为质点的带正电的小球，以大小为v0的速度垂直于竖直面MN向右做直线运动．小球在t＝0时刻通过电场中的P点，为使小球能在以后的运动中竖直向下通过D点(P、D间距为L，且它们的连线垂直于竖直平面MN，D到竖直面MN的距离DQ等于L/π)，经过研究，可以在电场所在的空间叠加如图乙所示的随时间周期性变化的、垂直于纸面向里的磁场．(g＝10m/s2)，求：

(1)场强E的大小；

(2)如果磁感应强度B0为已知量，试推出满足条件t1的表达式；

(3)进一步的研究表明，竖直向下的通过D点的小球将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小，并在图中定性地画出小球运动一个周期的轨迹．(只需要画出一种可能的情况)

Answer

(1)mg/q (2)＋ (3) 轨迹见解析图乙

【解析】(1)小球进入电场，做匀速直线运动时

Eq＝mg，①

E＝mg/q.②

(2)在t1时刻加磁场，小球在时间t0内做匀速圆周运动(如图甲所示)，设圆周运动的周期为T0，半径为R0.

竖直向下通过D点，则t0＝3T0/4，      ③

B0qv0＝m④

PF－PD＝R即v0t1－L＝R，            ⑤

将③④代入⑤式解得t1＝＋.

(3)小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，小球在电场中的运动周期T也增加

在小球不飞出电场的情况下，当T0最大时，有：

DQ＝2R，即＝，               ⑥

T0＝＝，                     ⑦

结合⑥⑦式是B0＝，

T0＝.

结合轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期T＝4×(＋t0)．

结合上式解得T＝.

所以小球在电场中运动一个周期的轨迹如图乙所示．