Question

在福建省科技馆中，有一个模拟万有引力的装置，在如图1所示的类似锥形漏斗固定的容器中，有两个小球在该容器表面上绕漏斗中心轴做水平圆周运动，其运行能形象地模拟了太阳系中星球围绕太阳的运行。图2为其示意图。图3为其模拟的太阳系行星运动图。图2中球离中心轴的距离相当于行星离太阳的距离。

(1)在图3中，设行星A₁和B₁，离太阳距离分别为r₁，和r₂，求A₁、B₁，运行速度大小之比。

 (2)在图2中，若质量为m的A球速度大小v，在距离中心轴为x₁的轨道面上旋转，由于受到微小的摩擦阻力，A球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心。当其运动到距离中心轴为x₂的轨道面时，两轨道面之间的高度差为H。求此过程中A球克服摩擦阻力所做的功。

Answer

（1）(2)

【解析】（1）设和的质量分别为和

根据万有引力定律和牛顿运动定律

     ①（3分）

    ②（3分）

由①②得  ③（3分）                                   

（2）设小球距离中心轴的轨道面运动的速度为，

由于小球的运动模拟行星运动，

有      ④       （4分）

根据动能定理       ⑤（4分）

由④⑤得     ⑥ （2分）