Question

荡秋千是一项古老的运动，秋千是一块板用两根绳系在两个固定的悬点组成，设某人的质量为m，身高为H，站立时重心离脚底H/2，蹲下时重心离脚底H/4，绳子悬挂点到踏板的绳长为6H，绳子足够柔软且不可伸长，绳子和踏板的质量不计，人身体始终与绳子保持平行，重力加速度为g。

1.若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ₀（单位：rad），由静止释放，忽略空气阻力，求摆至最低点时每根绳的拉力大小；

2.若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ₁ （单位：rad），由静止释放，摆至另一侧最大摆角为θ₂（单位：rad），设空气阻力大小恒定，作用点距离脚底为H/3，求空气阻力的大小。

3.若该人在踏板上采取如下步骤：当荡至最高处时，突然由蹲式迅速站起，而后缓缓蹲下，摆至另一侧最高处时已是蹲式，在该处又迅速站起，之后不断往复，可以荡起很高。用此法可以荡起的最大摆角为θm 弧度，假设人的“缓缓蹲下”这个动作不会导致系统机械能的损耗，而且空气阻力大小和作用点与第（2）问相同，试证明：。

Answer

1.

2.

3.见解析

【解析】（1）设荡至最低点时速度为v，则由机械能守恒定律有  设拉力为F，则由牛顿第二定律               

求得          

每根绳的拉力               

（2）全程损耗的机械能为                 空气阻力做的功为                         

由功能关系有                                  

求得                          

（3）在一个周期内，通过“迅速站起”获得的机械能（重力势能）是

空气阻力做的功是                           

由功能关系有                                     

求得        ，得证。