Question

如图为“S”字形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分由两个半径相等的半圆连接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，某弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点以速度v₀水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从p点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25m，圆的半径R＝0.1m，小球质量m＝0.01kg，轨道质量为m′＝0.15kg，g＝10m/s²，求：

（1）若v₀＝5m/s，小球从p点抛出后的水平射程．

（2）若v₀＝5m/s，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向．

（3）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v₀至少为多少时，轨道对地面的压力会为零，并指出此时小球的位置．

Answer

（1）s＝0.98m

（2）F＝1.1N  方向竖直向下

（3）v0＝5m/s

【解析】（1）设小球运动到p点的速度大小为v，对小球由a点运动到p点的过程应用动能定理得

－μmgL－4Rmg＝mv2－mv02

小球自p点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则：

4R＝gt2

s＝vt

联立代入数据解得

s＝0.98m

（2）设在轨道最高点时管道对小球的作用力大小为F，取竖直向下为正方向

F＋mg＝

联立代入数据解得

F＝1.1N

方向竖直向下

（3）分析可知，要使小球以最小速度v0开始运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位置应该在“S”字形轨道的中间位置

则有：

F′＋mg＝

F′＝m′g

－μmgL－2mgR＝mv12－mv02

解得：v0＝5m/s