Question

已知函数，是的导函数.

（1）若，求的最值；

（2）若，证明：对任意的，存在，使得.

Answer

（1）最小值为，没有最大值；（2）证明见解析

【解析】

（1）求函数的定义域，求，利用的正负，判断的单调性，求出的最值；

（2）求出，易知在上单调递增，所以在上单调递增，求出的取值范围，得到，所以在上单调递增，再求出的取值范围.由题意，问题转化为证明的最大值小于等于的最大值成立.

（1）函数的定义域为.

当时，，.

所以在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以的最小值为，没有最大值.

（2）由题意得.

因为在上单调递增，所以，

即.

因为且，所以，所以在上单调递增.

所以，即.

依题意知，只需成立即可.

要证成立，即证成立.

因为，所以，，所以，

从而，原命题得证.