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已知F1F2为椭圆Ey21的左、右焦点,过点P(﹣20)的直线l与椭圆E有且只有一个交点T

1)求F1TF2的面积;

2)求证:光线被直线反射后经过F2

 

答案:
(1);(2)见解析 【解析】 (1)设过的直线方程与椭圆联立,判别式等于零求出斜率,并求出的坐标,进而求出面积;(2)求出关于直线的对称点F1',写出直线F1'T的方程,则得出直线过点. (1)由题意得,直线l的斜率存在且不为零, 设直线l的方程为:y=k(x+2),代入椭圆整理得: (1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣2=0, 所以△=64k4﹣8(1+2k2)(4k2﹣1)=8(1﹣2k2)=0, 解得k,则x=﹣1, 所以T(﹣1,), 又(﹣1,0),F2(1,0), 所以|F1F2||y|. (2)证明:由对称性,设切点T(﹣1,).此时直线l的方程为:y(x+1)即x2=0, 设点F1(﹣1,0)关于l的对称点为F1'(x0,y0),则, 解得:’所以F1'(,), 所以直线F1'T的方程为:y(x+1), 即yx, 当y=0时,x=1, 所以光线被直线l反射后经过F2.
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