答案：
（1）单调增区间 ，单调减区间；（2）；（3）见解析.
【解析】
（1）先求出函数的定义域，再求出，由和即可求得的单调区间；
（2）先求出切线的斜率，再求出及切点坐标，最后代入直线的点斜式方程即可；
（3）所证不等式等价为，构造函数，由（1）可知，，所以成立．
解：（1）由已知可得函数的定义域为，，令，可得；令，可得，所以函数的单调增区间 ，单调减区间；
（2）因为，
所以，又，
所以切线方程为，
即 ；
（3）所证不等式等价为，
而，
设
则，由（1）结论可得，在上单调递减，在上单调递增，由此，所以即，
记，则，代入得，
即对任意的正数与，恒有.