Question

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．

（）求椭圆的标准方程．

（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这条直线互相垂直，求证：为定值．

Answer

（）（）见解析

【解析】

试题

（1）由离心率可得，故椭圆的方程为，将点的坐标代入方程可得，，从而可得椭圆的方程。（2）①当直线的斜率为0时，为长轴长，为通径长；②当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，运用椭圆的弦长公式可得和，然后验证即可得到结论。

试题解析：

（）∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 椭圆的方程为，

又点在椭圆上，

∴

解得，

∴ ，

∴ 椭圆的方程为．

（）由（1）得椭圆的焦点坐标为，，

①当直线的斜率为0时，则,

∴ .

②当直线的斜率为0时，设其，

由直线与互相垂直，可得直线，

由消去y整理得，

设，，

则，，

∴ ，

同理，

∴ ．

综上可得为定值。