Question

已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）当在上的最小值是时，求m的值.

Answer

(1)见解析；(2)

【解析】

（1）对求导，得=，按两种情况进行讨论单调性即可；

（2）由（1）知，按两种情况进行求在上的最小值，，列方程解出即可.

（1）依题意，.

当时，，则在上单调递增；

当时，由解得，由解得.

故当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，

故，即，矛盾.

当时，由（1）得是函数在上的极小值点.

①当即时，函数在上单调递增，

则函数的最小值为，即，符合条件.

②当即时，函数在上单调递减，

则函数的最小值为，即，矛盾.

③当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，即.

令（），则，

∴在上单调递减，而，∴在上没有零点，

即当时，方程无解.

综上所述：=.