Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.

Answer

（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；

（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.

（1）求导得.定义域.

当时，,函数在上为减函数.

当时，令得,为增函数；

令得,为减函数.

所以时，函数减区间是.

当时，函数增区间是 ；减区间是.

（2）依题意，只需证.设.

则，设.

因为，所以在上单调递增.

又因为，所以在内有唯一解，记为即.

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以.

设，.则.所以.

所以，即曲线在抛物线上方.