Question

已知函数.其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数在处存在极值－1，且时，恒成立，求实数的最大整数.

Answer

（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增（2）的最大整数为0.

【解析】

（1）求导，分，讨论的正负值，即函数的单调性；

（2）先通过函数在处存在极值－1，可求出，将恒成立，转化为，令，利用导数求的最小值.

解：（1），

当时，，在上单调递增；

当时，，，

则时，，在上单调递减；

时，，在上单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）函数在处存在极值－1，

由（1）知，且，，

所以，，

则；

因为，，

所以时，单调递减；时，单调递增，

则在处存在极值满足题意；

由题意恒成立，即，对恒成立，

即：，设，只需，

因为，

又令，，

所以在上单调递增，

因为，.

知存在使得，

即，

且在上，，，单调递减，

在上，，，单调递增，

所以，，即，

∴，

又，

知，所以的最大整数为0.