Question

已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；

（3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）最大值，最小值是；（3）

【解析】

（1）先确定切点纵坐标，在求导，求出切线的斜率，最后写出切线方程；（2）求导研究函数在区间上的单调性，在求最值（3）由题意求出（用含a的式子表示），根据题意：，在求出a的取值范围

（1）时，，

，

曲线在点处的切线方程为：

，即

（2）时，，

由，得

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减.

又 又

函数在区间上的最大值是；最小值是

（3）

当时，的值域是

的定义域为，

①当时，，在定义域为上单调递增，且值域是

所以，对任意的，均存在，使得

②当时，由 得

当时，，当时，

当时，取得最大值

所以“对任意的，均存在，使得”等价于

，即，解得

综合①，②得的取值范围是