Question

已知直四棱柱的底面ABCD是菱形，，E是上任意一点.

（1）求证：平面平面；

（2）设，当E为的中点时，求点E到平面的距离.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由题，，又ABCD是菱形，那么，可知平面，平面BDE，即得证；（2）由等体积法，计算即得。

解：（1）证明：∵四棱柱是直四棱柱，

∴底面ABCD，而底面ABCD，∴.

又ABCD是菱形，有，∵，故平面

又平面BDE，∴平面平面.

（2）法一：设AC与BD的交点为O，连OE，，由（1）知点E到平面的距离即点E到直线的距离.又在三角形中，，，得OE边上的高为，故E到直线的距离.

法二：由，而，，

故.

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