Question

已知函数，是的一个极值点

（1）求实数的值，并证明：当时，恒成立；

（2）若函数，试讨论函数的零点个数

Answer

（1）2；证明见解析（2）时，0个；时，1个；时，2个

【解析】

（1）求得函数的导数，由题意可得（1），解方程可得的值，求得的导数，可得单调性和极值点，考虑极小值大于0，即可得证；

（2）由方程分离参数得，转化为研究函数的单调性和极值，利用函数大致图象求与交点即可.

（1）函数的定义域为，

的导数为，

因为是的一个极值点，

所以（1），

解得；

故，，

令，解得．

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

又当时，；当时，，

所以当时，取得极小值，

因为（1），所以当时，恒成立．

（2）令，得，即

整理得，

显然，分离参数得

记

则

记则恒成立，

所以函数在上单调递增，

又，

所以当时，即所以函数单调递减；

当时，，即，所以函数单调递增.

又当时，；当时，,

所以的最小值为.

函教的零点个数，即为函数和函数的图象的交点个数，

所以当时，两函数图象没有交点，函数有一个零点；

当时，两函数图象有两个交点，函数有两个零点.