Question

已知椭圆的右焦点为F，点B是椭圆C的短轴的一个端点，ΔOFB的面积为，椭圆C上的两点H、G关于原点O对称，且、的等差中项为2

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点M（2，1）的直线与椭圆C交于不同的两点P、Q，且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由

Answer

（1）；（2）存在；

【解析】

（1）由等差中项的性质和椭圆的对称性知，求出．通过三角形的面积以及，推出，，

得到椭圆的方程．

（2）当直线与轴垂直时，直线与椭圆相切，不满足条件，设，，，，直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理．向量关系．转化求解即可．

（1）由等差中项的性质和椭圆的对称性知，，．

又，，

又，，，，

故椭圆的方程为．

（2）当直线与轴垂直时，直线与椭圆相切，不满足条件，

故可设，，，，直线的方程为，

代入椭圆方程得，

则，，

△，．

，即，

，即，

，

解得，又，

存在满足条件的直线，其方程为．