答案：
（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先证出EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）证出BB1⊥A1D，A1D⊥B1C1，利用面面垂直的判定定理即可证出.
因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.
因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.
因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.
因为BB1B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.
因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.