Question

已知函数f（x）＝e^x﹣a（x²+x+1）．

（1）当a＝1时，证明：f（x）+x²≥0；

（2）当a时，判断函数f（x）的单调性；

（3）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）f（x）在R单调递增；（3）（，1）

【解析】

（1）令，通过求导证明，即可得证；

（2）对求导，结合（1）中结论得，即可得解；

（3）由条件得有三个实根，令，求出导数后根据函数的单调性结合极值即可得解.

（1）当a＝1时，f（x）+x2≥0等价于，

令，g′（x）＝ex﹣1，

可得g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴，

∴ex﹣（x+1）≥0即f（x）+x2≥0；

（2）当时，．，

∴函数f（x）在R单调递增；

（3）函数f（x）有三个零点⇔ 有三个实根，

令，，

∴h（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

且x→﹣∞时，h（x）→0，x→+∞时，h（x）→+∞，h（0）＝1， ，

∴实数a的取值范围是（，1）．