Question

如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA＝1，PC＝3，BC＝2，sin∠PCA，E，F，G分别为线段的PC，PB，AB中点，且BE．

（1）求证：AB⊥BC；

（2）若M为线段BC上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明PA⊥平面ABC，再证明BC⊥BP，即可得BC⊥平面PAB，即可得证；

（2）由BC∥平面EFG可得VM﹣EFG＝VB﹣EFG＝VE﹣BFG，证明EF⊥平面BFG后求出长度即可得解.

（1）证明：∵PA＝1，PC＝3，，∴PA⊥AC，

∵PA⊥AB，∴PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC，∵E为PC中点，且，∴BC⊥BP，∴BC⊥平面PAB，∴AB⊥BC；

（2）∵E，F为中点，∴BC∥EF，且EF＝1，由BC⊄平面EFG，∴BC∥平面EFG，

∵M∈BC，∴VM﹣EFG＝VB﹣EFG＝VE﹣BFG，易知EF⊥平面BFG，FG∥PA，

， ，∴S△BFG，

∴．

∴三棱锥M﹣EFG的体积为.