Question

在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），P为不在x轴上的动点，直线PA，PB的斜率满足k_PAk_PB．

（1）求动点P的轨迹Γ的方程；

（2）若M，N是轨迹Γ上两点，k_MN＝1，求△OMN面积的最大值．

Answer

（1）（y≠0）；（2）

【解析】

（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，根据kPAkPB，得到，化简即得解；

（2）设MN：y＝x+b，联立得到韦达定理，利用弦长公式表示弦长|MN|，O到直线MN的距离，继而表示△OMN的面积，利用导数研究单调性，求最值即可.

（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，则根据kPAkPB．

即，

整理得动点P的轨迹Γ的方程为：（y≠0）；

（2）设MN：y＝x+b，联立，

整理得5x2+8bx+4b2﹣4＝0，

△＝5﹣b2＞0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2b，x1x2（b2﹣1），

|MN||x1﹣x2|，

O到直线MN的距离d，

所以△OMN面积S，

设f（b）＝5b2﹣b4，

则f′（b）＝10b﹣4b3＝0，

解得b＝0或b＝±，

又因为5﹣b2＞0，

故b＝0或b＝±

且S（0）＝0，S（±），

故△OMN的面积S最大值为．