Question

设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，)，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和．

Answer

（1）证明过程见详解；（2）（）；（3）证明过程见详解.

【解析】

（1）先由题意求出；再由，即可证明数列是等比数列；

（2）由（1）的结果得到，，．

再由，得到进而可求出结果；

（3）先由（2）知，则,根据放缩法，与裂项相消，即可证明结论成立.

（1）证明：当时，，解得．

当时，．

即．

∵为常数，且，∴．

∴数列是首项为1，公比为的等比数列．

（2）解：由（1）得，，．

∵，

∴，即．

∴是首项为，公差为1的等差数列．

∴，即（）．

（3）证明：由（2）知，则,

所以，

当时，，

所以

．