Question

如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．

（1）证明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer

（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到，在根据面面垂直的性质定理，证得平面.

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）证明：∵ AD＝CD＝，O是AC的中点，

∴ DO⊥AC．

∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，

∴ DO⊥底面ABC．

（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．

OA＝OC＝OD＝2， OB＝

如图，以点O为坐标原点，OA为x轴， OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．

则，，，

，，

，，．

设平面ADE的一个法向量为，

则 即

令，则，所以．

同理可得平面AEC的一个法向量．

．

因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为．