Question

已知函数f(x)＝|x－a|－x(a＞0)．

(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)＜0；

(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)＜a²＋恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）{x|2＜x＜6}（2）(1，＋∞)

【解析】

试题（Ⅰ）将a的值带入f（x），原不等式等价于﹣x＜x－3＜x，解之即可；

（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+，原问题等价于|a|＜a2，求出a的范围即可．

试题解析：

(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－x，即|x－3|－x＜0，原不等式等价于－＜x－3＜，解得2＜x＜6，故不等式的解集为{x|2＜x＜6}．

(2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋，

原不等式等价于|x－a|－|x|＜a2，

由绝对值三角不等式的性质，

得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|，

原不等式等价于|a|＜a2，

又a＞0，∴a＜a2，解得a＞1.

∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．