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已知数列{an}满足,且

(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;

(2)求数列的前项和.

 

答案:
(1) an=(2n-1)2n-1;(2) Sn=(2n-3)2n+3. 【解析】 (1)根据等差数列的定义,判断数列是等差数列,并写出它的通项公式以及{an}的通项公式; (2)根据数列{an}的前n项和定义,利用错位相减法求出Sn; (1)证明:因为an=2an-1+2n,所以==+1, 即-=1,所以数列是等差数列,且公差d=1,其首项=,所以=+(n-1)×1=n-,解得an=×2n=(2n-1)2n-1. (2)Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1,① 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,② ①-②,得-Sn=1×20+2×21+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)2n =1+-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3. 所以Sn=(2n-3)2n+3.
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