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已知点AB关于坐标原点O对称,,以M为圆心的圆过AB两点,且与直线相切,若存在定点P,使得当A运动时,为定值,则点P的坐标为(   

A. B. C. D.

 

答案:
C 【解析】 设M的坐标为(x,y),然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2=﹣y,把|MA|﹣|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标. 解:∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点,∴圆心M在线段AB的中垂线上, 设点M的坐标为(x,y),则|OM|2+|OA|2=|MA|2, ∵⊙M与直线2y﹣1=0相切,∴|MA|=|y|, ∴|y|2=|OM|2+|OA|2=x2+y2, 整理得x2=﹣y, ∴M的轨迹是以F(0,)为焦点,y为准线的抛物线, ∴|MA|﹣|MP|=|y|﹣|MP| =|y|﹣|MP||MF|﹣|MP|, ∴当|MA|﹣|MP|为定值时,则点P与点F重合,即P的坐标为(0,), ∴存在定点P(0,)使得当A运动时,|MA|﹣|MP|为定值. 故选:C.
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