Question

已知函数f（x）＝lnx+a（x²﹣1）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a，x∈[1，+∞）时，证明：f（x）≤（x﹣1）e^x．

Answer

（1）函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）见解析

【解析】

（1）对f(x)求导，分a≥0, a＜0讨论，分析导函数正负，得到函数f（x）的单调性；

（2）构造函数，对g(x)求导，得到，通过二次求导分析正负，进而得到g(x)的单调性，及g(x)的最小值，故得解.

（1）函数的定义域为（0，+∞），，

当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＜0时，由f′（x）＞0解得，由f′（x）＜0解得，

∴函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减；

（2）证明：令，则，g′（1）＝e﹣（e﹣1）﹣1＝0，

再令，则，

当x≥1时，，

∴，即m′（x）＞0，

∴y＝m（x）在[1，+∞）上单调递增，

∵m（1）＝g′（1）＝0，

∴m（x）≥m（1）＝0，

∴y＝g（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴g（x）≥g（1）＝0，

综上可知，f（x）≤（x﹣1）ex．