Question

已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，△AF₂B的周长为8，

（1）求该椭圆C的方程．

（2）设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：yx+m，（﹣1＜m＜1）与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围．

Answer

（1）．（2）（2，2]

【解析】

（1）△AF2B的周长为8可得4a=8,结合离心率为，即得解a,b,c；

（2）联立直线l：yx+m和椭圆方程，用m表示Q（0，1）到直线MN的距离d1，P（2，0）到直线MN的距离为d2，再表示四边形面积S，求出S的范围即可.

（1）由已知可得，解得

椭圆C的方程：．

（2）

设M（x1，y1），N（x2，y2），

⇒x2+2mx+2m2﹣2＝0．

x1+x2＝﹣2m，x1x2═2m2﹣2，

|MN|，（﹣1＜m＜1）

Q（0，1）到直线MN的距离d1，

P（2，0）到直线MN的距离为d2．

P、M、Q、N四点组成的四边形面积S|MN|（d1+d2）2

∵﹣1＜m＜1，∴0≤m2＜1，

∴2∈（2，2]，

∴P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围为（2，2]