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已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是边长为2的正方形,且PA⊥面ABCD,若四棱锥的体积为,则该球的体积为_____

 

答案:
8π. 【解析】 首先根据条件求出PA,再把四棱锥P﹣ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体,则这个长方体的外接球就是四棱锥P﹣ABCD的外接球,球心O就是PC的中点,求出长方体的体对角线长,即得解. 设此球半径为R, 因底面ABCD是边长为2的正方形,且PA⊥面ABCD,若四棱锥的体积为, 则2×2×PA,∴PA=4, 可以把四棱锥P﹣ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体, 则这个长方体的外接球就是四棱锥P﹣ABCD的外接球,球心O就是PC的中点, ∴(2R)2=PC2=AP2+AB2+BC2=42+22+22=24,∴R, 则该球的体积为. 故答案为:.
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