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已知函数gx)=bx1),其中a≠0b≠0

1)若ab,讨论Fx)=fx)﹣gx)的单调区间;

2)已知函数fx)的曲线与函数gx)的曲线有两个交点,设两个交点的横坐标分别为x1x2,证明:

 

答案:
(1)见解析(2)见解析 【解析】 (1)求导得,按照a>0、 a<0讨论的正负即可得解; (2)设x1>x2,转化条件得,令,,只需证明即可得证. (1)由已知得, ∴, 当0<x<1时,∵1﹣x2>0,﹣lnx>0,∴1﹣x2﹣lnx>0,; 当x>1时,∵1﹣x2<0,﹣lnx<0,∴1﹣x2﹣lnx<0. 故若a>0,F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 故若a<0,F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (2)不妨设x1>x2,依题意, ∴,同理得 由①﹣②得,∴, ∴, ∴, 故只需证, 取∴,即只需证明,成立, 即只需证,成立, ∵, ∴p(t)在区间[1,+∞)上单调递增, ∴p(t)>p(1)=0,∀t>1成立, 故原命题得证.
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