Question

如图，在直三棱柱中，，四边形是边长为6的正方形，直线与平面所成的角的正切值为3，点为棱上的动点，且.

（1）当为何值时，平面?

（2）当时，求二面角的正切值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）取为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直线坐标系．利用正方形的性质与已知可得：平面，于是平面．得到就是直线与平面平面所成的角，可得，利用，，解出即可．

（2）若，设平面的法向量为．利用，可得，又平面的法向量为．利用即可得出．

解：（1）取为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直线坐标系．

四边形是边长为6的正方形，．

，．

又易知平面，

，又，平面，平面．

平面．

就是直线与平面平面所成的角，

，

，

设，则点，0，，，0，，，6，，，0，，，0，．

，6，，，0，，，0，．

由，，

解得，由于．

故当时，平面．

（2）若，则点，0，，，0，，，6，，

设平面的法向量为．

由，得

令，得，1，，又平面的法向量为，1，．

设二面角的大小为，则，

，．

即二面角的正切值为2．