Question

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），经过变换，得曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程.

（Ⅱ）若，为曲线上的动点，且，证明：为定值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）利用坐标关系求出，消去后可得曲线的直角坐标方程，再利用可得其极坐标方程 .

（Ⅱ）根据可设的极坐标为，，将它们代入（Ⅰ）中得到的极坐标方程可证为定值.

（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数），经过变换，

得曲线的参数方程（为参数），也就是.

消去参数得到的直角坐标方程为，

故曲线的极坐标方程为：.

（Ⅱ）不妨设，，

又曲线的极坐标方程可化为，

所以即，

两式相加得，故为定值.